メネラウスの定理の覚え方と証明

メネラウスの定理は三角形と直線に関する定理。チェバの定理は三角形と点に関する定理です。

メネラウスの定理

メネラウスの定理は三角形と直線に関する定理です。

メネラウスの定理

$$\frac{AR}{RB}\cdot \frac{BP}{PC}\cdot \frac{CQ}{QA}=1$$

覚え方としては、キツネ型の耳から元の耳へ戻ってきます。

その際は、「ホップ・ステップ・ジャンプ!(この時点で反対側の耳にいる)、ワンツースリー!」で元の耳まで戻ってきます。

この順番で分数に上・下・上・下・上・下と入れていき、イコール1とすれば完成です。

メネラウスの定理の証明には相似を使います。

証明

Cから直線lと並行な直線を引くき、ABと交わった点をDとする。

三角形BCDと三角形BPRは相似なので、$BP:PC=RB:RD$

三角形ADCと三角形ARQは相似なので、$QA:CQ=AR:RD$

よって、

$$\frac{BP}{PC}=\frac{RB}{RD}$$

$$\frac{CQ}{QA}=\frac{RD}{RA}$$

この二式を用いると、

$$\frac{AR}{RB}\cdot \frac{BP}{PC}\cdot \frac{CQ}{QA}$$

$$=\frac{AR}{RB}\cdot \frac{RB}{RD}\cdot \frac{RD}{RA}$$

$$=1$$