漸化式③「階差数列型」

高校数学では、本質的に解くことができる漸化式は「等差数列」、「等比数列」、「階差数列型」の三種類しかありません。今回はそのうちの一つ、階差数列型の漸化式について解説します。

※ ここでいう、「本質的に解ける」とは、漸化式から一般項をnの式で求める操作を言います。

階差数列型の漸化式

階差数列型の数列とは、とある数列$\{a_n\}$において、$a_{n+1}-a_n$で定められる階差数列$\{b_n\}$を考えることにより解きやすくなる数列のことです。

よって、$a_n$に$b_n$を足せば$a_{n+1}$になるので、これが漸化式になります。

ただし、階差数列$b_n$はnの式で表されるので、漸化式は次のようになります。

階差数列型

$$a_{n+1}=a_n+f(n)$$

$a_1=3,\ a_{n+1}=a_n+2n$によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。

解答

$a_{n+1}=a_n+2n$より$a_n$に$2n$を足せば$a_{n+1}$なので、

$\{a_n\}$は$b_n=2n$を階差数列に持つ数列である。

また初項は3なので、求める一般項は

$$a_n=3+\sum^{n-1}_1 2n$$

$$=3+2\cdot \frac{1}{2}(n-1)n$$

$$=n^2-n+3$$