高校数学では、本質的に解くことができる漸化式は「等差数列」、「等比数列」、「階差数列型」の三種類しかありません。
今回はそのうちの一つ、等比数列の漸化式について解説します。
※ ここでいう、「本質的に解ける」とは、漸化式から一般項をnの式で求める操作を言います。
等比数列の漸化式
等比数列とは、前の項に公比rをかけたら次の項になる数列です。
よって、漸化式もその形をしています。
等比数列の漸化式
$$a_{n+1}=ra_n$$
この式は「an+1はa_nにrをかけたもの」と読むことができ、まさしく等比数列の隣接する二項の関係を表した式になります。
例題
例題
$a_1=1,\ a_{n+1}=3a_n$によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。
解答
$a_{n+1}=3a_n$より、$a_n$に3をかければ$a_{n+1}$になる。
よって数列\{a_n\}は公比が3である等差数列で、その初項は$a_1=1$より1である。
よって求めるべき一般項は
$$a_n=1\cdot 3^{n-1}$$
$$=3^{n-1}$$
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