漸化式①「等差数列」

高校数学では、本質的に解くことができる漸化式は「等差数列」、「等比数列」、「階差数列型」の三種類しかありません。今回はそのうちの一つ、等差数列の漸化式について解説します。

※ ここでいう、「本質的に解ける」とは、漸化式から一般項をnの式で求める操作を言います。

等差数列の漸化式

等差数列とは、前の項に公差dを加えると次の項になる数列のことなので、漸化式もそのまんまの形をしています。

等差数列の漸化式

$$a_{n+1}=a_n+d$$

この式は「$a_{n+1}$はa_nにdを足したもの」と読むことができ、まさしく等差数列の隣接する二項の関係を表した式になります。

$a_1=3 ,\ a_{n+1}=a_n+2$によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。

解答

$a_{n+1}=a_n+2$より、$a_n$に2を足せば$a_{n+1}$になる。

よって数列$\{a_n\}$は公差が2である等差数列で、その初項は$a_1=3$より3である。

よって求めるべき一般項は

$$a_n=3+2(n-1)$$

$$=2n+1$$