ポアソンの法則の一番簡単な導出

熱力学

2022.09.02

ポアソンの法則

ポアソンの法則とは断熱過程において、気体の圧力と体積、または温度と体積の関係を表した法則です。

ポアソンの法則

$$PV^\gamma =一定$$

$$TV^{\gamma -1}=一定$$

ただし、$\gamma =\frac{C_p}{C_v}$

$C_p$、$C_v$についてはこちらをご覧ください。

ポアソンの法則の導出は、断熱変化を仮定した熱力学第一法則の式を積分するだけです。

導出

断熱変化での熱力学第一法則$0=\varDelta U+W$の微小変化$0=dU+dW$を考え、に次の二式を代入する。

すると熱力学第一法則の式は

$$0=nC_vdT+PdV$$

ここで、状態方程式より$P=\frac{nRT}{V}$を代入すると、

$$0=nC_vdT+\frac{nRT}{V}dV$$

両辺を$nTC_v$で割ることにより、

$$0=\frac{1}{T}dT+\frac{R}{C_v} \frac{1}{V}dV$$

ここで両辺を積分すると、

$$C=\int \frac{1}{T}dT+\int \frac{R}{C_v} \frac{1}{V}dV$$

$$=\log T+\frac{R}{C_v} \log V$$

$$=\log T V^{\frac{R}{C_v}}$$

Cは定数なので、$TV^{\frac{R}{C_v}}$は一定。

ここで、マイヤーの関係から、$R=C_p-C_v$を代入し、比熱比$\gamma =\frac{C_p}{C_v}$を用いて表すと、

$$TV^{\gamma -1}=一定$$

また、状態方程式より$T=\frac{PV}{nR}$を代入すると、

$$PV^{\gamma}=一定$$

が得られる。