マイヤーの関係式の導出には「モル比熱」の理解が重要になってくるので、まずはそこを抑えましょう！この記事と同じ内容の動画もありますので、そちらも是非。
マイヤーの関係式
$$C_p=C_v+R$$
解説動画
モル比熱
比熱と似ていますが、モル比熱とは「気体1molの温度を1℃上昇させるのに必要なエネルギー」のことを言います。
比熱とは「物質1gの温度を1℃上昇させるのに必要なエネルギー」
では、$n$molの気体の温度を$\varDelta T$℃上昇させるのに必要なエネルギーはモル比熱Cを使ってどう表せるでしょうか？
次のHINTのように考えれば簡単ですね。
気体1molの温度を1℃上昇させるのに必要なエネルギーは$C$。（モル比熱の定義）
↓
気体n molの温度を1℃上昇させるのに必要なエネルギーは$nC$。
↓
気体n molの温度を$\varDelta T$℃上昇させるのに必要なエネルギーは$nC\varDelta T$。
よって、$n$molの気体に熱$Q$が与えられ、温度が$\varDelta T$℃上昇したとすると、必要なエネルギー（＝気体が受け取った熱$Q$）は次の式で表されます。
定積モル比熱と定圧モル比熱
モル比熱の値というのは変化の条件によって異なります。
（膨張ができない状態の空気を１度温めるのと、膨張できる状態の空気を一度温めるのはエネルギーが異なる。）
よって、モル比熱と一言で言っても、”どういった条件下でのモル比熱なのか”によって値が全く異なります。
いろいろな条件の中でも、物理学では「定積条件」と「定圧条件」でのモル比熱の値をよく使い、それぞれ定積モル比熱・定圧モル比熱と呼びます。
定積モル比熱
定積条件でのモル比熱の値を定積モル比熱と呼び、$C_v$という文字で表すことが多いです。
よって定積変化において$n$molの気体に熱$Q_v$が与えられ、温度が$\varDelta T$℃上昇したとすると、気体が受け取る熱は
また、定積変化では仕事が発生しないため、気体のした仕事は$W=0$であり、これと$Q=nC_v\varDelta T$を熱力学第一法則$Q=\varDelta U+W$に代入すると、定積変化での内部エネルギーの変化を求めることができます。
定圧モル比熱
定圧モル比熱はその名の通り、定圧変化でのモル比熱の値で、$C_p$と表すことが多いです。
よって、定圧変化において$n$molの気体に熱$Q_p$が与えられ、温度が$\varDelta T$℃上昇したとすると、気体が受け取った熱$Q$は次の式で表されます。
定圧変化では気体のした仕事は$W=P\varDelta V=nR\varDelta T$であり、これと$Q=nC_p\varDelta T$を熱力学第一法則$Q=\varDelta U+W$に代入すると、定圧変化での内部エネルギー変化は
熱力学第一法則の意味や導出はこちらをご覧ください。
マイヤーの関係式
ここで、重要事項です。
つまり、内部エネルギー変化は定積や定圧などの条件の種類に左右されないため、
「$n$molの気体に熱$Q$が与えられ、温度が$\varDelta T$℃上昇した」とすると、その内部エネルギー変化は定積変化でも定圧変化でも一緒ということです。
よって先ほど求めた$\varDelta U_v$と$\varDelta U_p$は等しくなるため、
$$nC_v\varDelta T=nC_p\varDelta T-nR\varDelta T$$
この式を整理すると次式を得ます。
マイヤーの関係式
$$C_p=C_v+R$$
まとめ
マイヤーの関係式でミソとなるのは「温度変化量さえ同じであれば、どんな過程の変化でも内部エネルギー変化量も同じ」ということです。
物理では主に定積・定圧・等温・断熱の四種類を扱いますが、それらについてはこちらをご覧ください。
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