断熱変化とポアソンの法則の導出

導出

断熱変化での熱力学第一法則$0=\varDelta U+W$の微小変化$0=dU+dW$を考え、に次の二式を代入する。

• $dW=PdV$(仕事の定義)
• $dU=nC_vdT$(内部エネルギー)

すると熱力学第一法則の式は

$$0=nC_vdT+PdV$$

ここで、状態方程式より$P=\frac{nRT}{V}$を代入すると、

$$0=nC_vdT+\frac{nRT}{V}dV$$

両辺を$nTC_v$で割ることにより、

$$0=\frac{1}{T}dT+\frac{R}{C_v} \frac{1}{V}dV$$

ここで両辺を積分すると、

$$C=\int \frac{1}{T}dT+\int \frac{R}{C_v} \frac{1}{V}dV$$

$$=\log T+\frac{R}{C_v} \log V$$

$$=\log T V^{\frac{R}{C_v}}$$

Cは定数なので、$TV^{\frac{R}{C_v}}$は一定。

ここで、マイヤーの関係から、$R=C_p-C_v$を代入し、比熱比$\gamma =\frac{C_p}{C_v}$を用いて表すと、

$$TV^{\gamma -1}=一定$$

また、状態方程式より$T=\frac{PV}{nR}$を代入すると、

$$PV^{\gamma}=一定$$

が得られる。