定圧変化

定圧変化とは、気体の圧力が一定である状態を保った変化のことです。

例えば気体に熱を加えた場合などは圧力が高くなってしまうのを防ぐため、気体の体積は増えることになります。

例えばピストン(自由に動ける壁)付きのシリンダーに入った気体を加熱することを考えます。

気体は壁を押し進めるため仕事をするわけですが、気体の圧力が一定であるため、気体が壁を押す力も一定になります。

気体の圧力をP、ピストンの面積をSとすると気体がピストンを押す力はPSとなります。

ここで、ピストンが距離Lだけ移動したとすると、気体がした仕事は$PSL$ですが、SLというのが気体の体積変化量$\varDelta V$と等しいことに注意すると、気体がした仕事は$P\varDelta V$と表すことができます。

定圧変化では気体がした仕事は$P\varDelta V$

これを熱力学第一法則の式、$Q=\varDelta U+W$に代入すると、

定圧変化

$$Q=\varDelta U+P\varDelta V$$

また、状態方程式$PV=nRT$を用いると、次のようにも表すことができます。

$$Q=\varDelta U+nR\varDelta T$$

定圧モル比熱

定圧モル比熱はその名の通り、定圧変化でのモル比熱の値で、$C_p$と表すことが多いです。

モル比熱についてはこちらの記事を参照してみてください。

よって、n molの気体に熱$Q$が与えられ、温度が$\varDelta T$℃上昇したとすると、気体が受け取った熱$Q$は次の式で表されます。

定圧変化での吸収熱

$$Q=nC_p\varDelta T$$

これを熱力学第一法則$Q=\varDelta U+nR\varDelta T$に代入すると、内部エネルギー変化を求めることができる。

定圧変化での内部エネルギー変化

$$\varDelta U=nC_p\varDelta T-nR\varDelta T$$

ここで、内部エネルギー変化は温度変化のみに依存するため、温度変化が一緒であれば定積変化でも定圧変化でも内部エネルギー変化の値は等しい。

よって、今求めた定圧変化での内部エネルギー変化を、定積変化での内部エネルギー変化$\varDelta U=nC_v\varDelta T$と比較すると、

$$nC_p\varDelta T-nR\varDelta T=nC_v\varDelta T$$

よって、次式を得る。

マイヤーの関係式

$$C_p=C_v+R$$