三角関数の微分

三角関数の微分公式

三角関数の微分

$$(sinx)’=cosx$$

$$(cosx)’=-sinx$$

$$(tanx)’=\frac{1}{cos^2x}$$

まずは微分の定義ですね。

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

なので微分の定義に従うと、

$$(sinx)’=\lim_{h\to0}\frac{sin(x+h)-sinx}{h}$$

$$=\lim_{h\to0}\frac{sinxcosh+cosxsinh-sinx}{h}$$

$$=\lim_{h\to0}\left(sinx\frac{cosh-1}{h}+cosx\frac{sinh}{h}\right)$$

ここで$\frac{cosh-1}{h}$の部分に$\frac{cosh+1}{cosh+1}$をかけます。

$$=\lim_{h\to0}\left(sinx\frac{cosh-1}{h}\cdot\frac{cosh+1}{cosh+1}+cosx\frac{sinh}{h}\right)$$

$$=\lim_{h\to0}\left(sinx\frac{cos^2h-1}{h(cosh+1)}+cosx\frac{sinh}{h}\right)$$

$$=\lim_{h\to0}\left(sinx\frac{sin^2h}{h(cosh+1)}+cosx\frac{sinh}{h}\right)$$

$$=\lim_{h\to0}\left(sinx\frac{sinh}{cosh+1}\cdot\frac{sinh}{h}+cosx\frac{sinh}{h}\right)$$

ここで、$\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{sinh}{h}=1$なので、

$$=cosx$$

同様に、微分の定義を使って求めていきます。

$$(cosx)’=\lim_{h\to0}\frac{cos(x+h)-cosx}{h}$$

$$=\lim_{h\to0}\frac{cosxcosh-sinxsinh-cosx}{h}$$

$$=\lim_{h\to0}\left(cosx\frac{cosh-1}{h}-sinx\frac{sinh}{h}\right)$$

$\frac{cosh-1}{h}$に$\frac{cosh+1}{cosh+1}$をかけます

$$=\lim_{h\to0}\left(cosx\frac{cosh-1}{h}\cdot\frac{cosh+1}{cosh+1}-sinx\frac{sinh}{h}\right)$$

$$=\lim_{h\to0}\left(cosx\frac{cos^2h-1}{h(cosh+1)}-sinx\frac{sinh}{h}\right)$$

$$=\lim_{h\to0}\left(cosx\frac{sin^2h}{h(cosh+1)}-sinx\frac{sinh}{h}\right)$$

$$=\lim_{h\to0}\left(cosx\frac{sinh}{(cosh+1)}\cdot\frac{sinh}{h}-sinx\frac{sinh}{h}\right)$$

$$=-sinx$$

（マイナスのつけ忘れに注意しましょう。）

$tanx$ももちろん微分の定義から求められるのですが、今回はおさらいも兼ねて商の微分で求めてみましょう。

（商の微分についてはこちら）

$$(tanx)’=\left(\frac{sinx}{cosx}\right)$$

$$=\frac{(sinx)’cosx-sinx(cosx)’}{cos^2x}$$

$$=\frac{cosxcosx+sinxsinx}{cos^2x}$$

$$=\frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}$$

$$=\frac{1}{cos^2x}$$