商の微分

商の微分の公式

分子の部分は「上ビブン下そのまま-上そのまま下ビブン」

頑張って覚えましょう・・・

余裕があればこっちも覚えてしまいましょう。

これは$g(x)=1$の時ですね。

導出

$\left(\frac{g(x)}{f(x)}\right)’$を微分の定義に従って求めていきましょう。

$$\left(\frac{g(x)}{f(x)}\right)’=\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\left(\frac{g(x+h)}{f(x+h)}-\frac{g(x)}{f(x)}\right)$$

$$=\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\cdot \frac{g(x+h)f(x)-g(x)f(x+h)}{f(x+h)f(x)}$$

ここで分子を工夫します。$\color{red}{g(x)f(x)}$を足して引きます。

$$=\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\cdot \frac{g(x+h)f(x)\color{red}{-g(x)f(x)+g(x)f(x)}-g(x)f(x+h)}{f(x+h)f(x)}$$

$$=\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\cdot\frac{f(x)\{g(x+h)-g(x)\}-g(x)\{f(x+h)-f(x)\}}{f(x+h)f(x)}$$

$$=\lim_{h\to0}\frac{1}{f(x+h)f(x)}\left(\frac{g(x+h)-g(x)}{h}f(x)-g(x)\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)$$

$\displaystyle\lim_{h\to0}f(x+h)=f(x)$なので

$$=\frac{g'(x)f(x)-g(x)g'(x)}{{f(x)}^2}$$

$$=\frac{g'(x)f(x)-g(x)g'(x)}{{f(x)}^2}$$

例題

商の微分の公式を使っていきます。

$$\left(\frac{logx}{x}\right)’=\frac{\frac{1}{x}x-logx\cdot1}{x^2}$$

$$=\frac{1-logx}{x^2}$$

分子の部分は「上ビブン下そのまま-上そのまま下微分」です。

根気強く覚えましょう。

以上、今回は商の微分でした。