積の微分

積の微分の公式

$f(x)$と$g(x)$の掛け算で表される関数の微分は次の公式で表すことができます。

このまま覚えるのはおすすめしないので次のように覚えます。

「微分そのまま＋そのまま微分」、つまりは片方ずつ微分して足すだけですね。

公式の導出

積の微分の公式を導出してみます。

微分の定義を使います。

$$\left\{f(x)g(x)\right\}’=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$$

ここでポイントとなるのが、分子に$f(x+h)g(x)$を足し引きして次のように表します。

$f(x+h)g(x+h)$$-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)$$-f(x)g(x)$

こうすることで$\left\{f(x)g(x)\right\}’$は次のように表されます。

$$\left\{f(x)g(x)\right\}’=\lim_{h \to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}f(x+h)+\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x)$$

ここで、$\displaystyle\lim_{h \to 0}f(x+h)=f(x)$なので

$$=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$

例題

例題を解いてみましょう。

$f(x)$を$x$、$g(x)$を$logx$として積の微分公式を使っていきます。

「ビブンそのまま+そのままビブン」なので

$$(xlogx)’=1logx+x\frac{1}{x}$$

$$logx+1$$

はい。2行ですんでしまいましたね。（笑）

てなわけで今回は積の微分の公式とその証明でした。