nCrとは組み合わせの数
選び方は何通りか
選び方の総数
「n個の物からr個選ぶ時の組み合わせのパターン数」を${}_nC_r$と表し、その値は
$${}_nC_r=\frac{{}_nP_r}{r!}$$
（問題を解くときにいちいち「n個の物からr個選ぶ時の選び方の数」と書いていてはめんどくさいので、文字にしてしまおうということですね。）
並べ方の数${}_nP_r$の値はnからr回カウントダウンしてかけます。
例：5個から4個並べるときの並べ方は${}_5P_4=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2$(5から4回カウントダウン)=120通り。
r!は「rの階乗」と読み、1からrまでカウントアップしてかけます。
例：$4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4$
計算の仕方
実際に計算する場合は、上記の公式ではなく次の公式を覚えている方が良いと思います。
nCrの計算
$${}_nC_r=\frac{nからr回カウントダウン}{1からrまでカウントアップ}$$
つまりは分母にも分子にもr個数が並ぶことになります。
例えば${}_5C_4$の場合は、
$${}_5C_4=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}{4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}$$
分子は5から4回カウントダウン、分母は1から4までカウントアップします。
例題
4人の生徒から掃除当番３人を選ぶような選び方は何通りあるか。
この問題で言えば4人から3人選ぶのでその選び方は${}_4C_3$通りと表せますね。
${}_4C_3$の値は
$${}_4C_3=\frac{{}_4P_3}{3!}=4$$
$$=\frac{4\cdot 3\cdot 2}{1\cdot 2\cdot 3}=4通り$$
公式の導出
先程の例題で説明してみましょう。
4人の生徒から掃除当番３人を選ぶような選び方は何通りあるか。
わかりやすいように、4人にA,B,C,Dと名前をつけておきます。
選び方の数と言うのは、並べ方の数からダブり分を除くことによって求めることができます。
まずは並べ方の数
4人から3人選んで並べる時の並べ方は
$${}_4P_3=4\cdot3\cdot2=24$$
なので24通りです。
並べると選ぶの違い
では、「選んで並べる」ときと「選ぶ」ときは何が違うのでしょうか。
それはずばり、ABCとACBやBCAを区別するかしないかです。
A,B,C,Dから3人選んで「並べる」ときにはもちろんABCとACBは別物です。しかしA,B,C,Dから3人「選ぶ」だけの時はABCとACBは同じものとして扱います。
つまり、並べる時の数え方では「ダブり」が生じてしまいます。（同じ物を何回も数えてしまっています。）
ABCはどれくらいダブっているのでしょうか。
一度、A,B,C,Dから3人選んで並べる並べ方を書き出してみましょう。
ABC ACB BAC BCA CAB CBA
ABD ADB BAD BDA DAB DBA
ACD ADC CAD CDA DAC DCA
BCD BDC CBD CDB DBC DCB
このうち、赤色の1行目がABCと同じと見なすべき物ですね。
つまりABCを6回数えてしまっています。他のACDなども同様に6回です。
この6という数字を計算で求めるには、A、B、Cの3人の並べ方の数を考えればオッケーです。つまり
$${}_3P_3=3!=6$$
並べ方からダブりを省く
結局は並べ方の数からダブっている分を省けば選び方の数になります。
今回の場合、並べ方の数24をそれぞれのダブり分の6で割れば、4通りが答えとなります。
おまけ
ちなみに、今回の場合は4人から3人選ぶのは4人から選ばれない1人を選ぶことになるので、普通に4通りですね。
以上、今回は組合せの数え方でした。
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