正弦定理と余弦定理

導出

三角形ABCの外接円(半径Rとする)について、A’Bが直径となるように円周上に点A’を取ると、

• 弧BCの円周角なので∠BACと∠BA’Cは等しい。
• 半円に対する円周角なので∠A’CB=90°

よって三角形A’BCに注目すると、

$$sin∠BA’C=\frac{a}{2R}$$

$$2R=\frac{a}{sin∠BA’C}=\frac{a}{sinA}$$

bとB、cとCも同様にすると、

$$2R=\frac{b}{sinB}　,　2R=\frac{c}{sinC}$$

以上より

$$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$$

解答

正弦定理より

$$\frac{5}{sin60°}=\frac{b}{sin45°}$$

$$b=\frac{5}{sin60°}sin45°$$

$$=5\cdot\frac{2}{\sqrt3}\cdot\frac{1}{\sqrt2}$$

$$=\frac{10}{\sqrt6}=\frac{5\sqrt6}{3}$$

証明

三角形ABCについて、第一余弦定理より

$$c=b\cos A+a\cos B$$

この両辺を二乗すると

$$c^2=(b\cos A+a\cos B)^2$$

$$=b^2\cos ^2A+a^2\cos ^2B+2ab\cos A\cos B$$

ここで、角度θに対して$\sin ^2\theta +\cos ^2\theta =1$を用いると、

$$=b^2(1-\sin ^2A)+a^2(1-\sin ^2B)+2ab\cos A\cos B$$

$$=a^2+b^2+2ab(\cos A\cos B-\sin A\sin B)-(b\sin A-a\sin B)^2$$

また、三角形ABCの面積Sについて

$$S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}bc\sin A$$

より、$a\sin B=b\sin A$である。

また、加法定理より

$$\cos A\cos B-\sin A\sin B=\cos (A+B)$$

以上より、

$$=a^2+b^2+2ab\cos (A+B)+0$$

$$=a^2+b^2+2ab\cos (\pi -C)$$

$$=a^2+b^2+2ab\cos C$$

よって、

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$$

※$a^2、b^2$についても同様

解答

余弦定理より、

$$c^2=3^2+4^2-2\cdot3\cdot4\cos 60°$$

$$=25-12$$

$$=13$$

よって、

$c=\sqrt{13}$