積分とは

積分とは簡単に言うと『微分の逆』のことです。

微分についてはこちらをご覧ください。

理系のシモン

「微分と積分」の関係は「乾燥と保湿」のようなものです。

しいたけを乾燥させれば干し椎茸になり、干し椎茸に水をやるとしいたけに戻ります。多分。

例えば$x^3$を微分すると$3x^2$なので、

$3x^2$を積分すると$x^3$に戻ります。

積分の手順

$ax^n$の形のものを微分するときは①肩の数nを係数aにかけ、②肩のnを一つさげてn-1にします。

$ax^n$の微分

$$(ax^n)’=nax^{n-1}$$

微分の手順は

$$2x^4 →→→ {\color{red}4}\cdot2x^{\color{red}3}=8x^3$$

積分ではその逆の操作をすればいいので、$ax^n$の形のものを積分する時は①肩のnを一つ上げてn+1にし、②そのn+1で係数aを割ります。

$$8x^3→→→\frac{8}{{\color{red}4}}x^{\color{red}4}=2x^4$$

積分の手順

確かに元に戻ることが確認できますね。

また、この様にして積分を求めることを通常、「不定積分を求める」といい、次の様に表します。

$${\color{red}{\int}}8x^3{\color{red}{dx}}=2x^4+C$$

このCは積分定数といい、任意の定数を表します。

積分とは微分の逆ですが、微分して$8x^3$になるのは$2x^4$だけではなく$2x^4+3$や$2x^4+8$などもありえるからです。(定数は微分すると0)

不定積分を求める際には必ず最後に積分定数をつけましょう。

よって、公式は次の様になります。

$$\int ax^ndx=\frac{a}{n+1}x^{n+1}+C$$