微分方程式「変数分離型」

変数分離型

微分方程式のうち、この形に変形できるものを「変数分離型」と呼びます。

（左辺は$y$と$y’$の式、右辺は$x$の式）

解法

解法は簡単で、上記の形に変形した後、両辺を$x$で積分します。

$$\frac{dy}{dx}=f(x)\cdot g(y)$$

①両辺$g(y)$で割る（左辺は$y$の式、右辺に$x$の式という様に変数を分離する）

$$\frac{1}{g(y)}\frac{dy}{dx}=f(x)$$

②両辺を$x$で積分

$$\int \frac{1}{g(y)}\frac{dy}{dx}dx=\int f(x)dx$$

③左辺の$dx$を消去し、両辺それぞれ積分する

$$\int \frac{1}{g(y)}\frac{dy}{\cancel{dx}}\cancel{dx}=\int f(x)dx$$

$$\int \frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx$$

例題

物理などでよく出てくるこの形も変数分離型になります。

解答

$$\frac{dy}{dx}=y$$

$$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=1$$

$$\int \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}dx=\int 1dx$$

$$\int \frac{1}{y}\frac{dy}{\cancel{dx}}\cancel{dx}=\int 1dx$$

$$\int \frac{1}{y}dy=\int 1dx$$

$$log|y|=x+C$$

$$y=\pm e^{x+C}$$

$$y=Ae^x$$

（$e^C$を定数$A$と置き直す）