気体分子運動論「内部エネルギーの導出」

気体の内部エネルギーの正体

気体を構成するのは気体分子であるため、気体のエネルギーとは、気体分子の運動エネルギーということになります。

気体分子の運動エネルギーの総和

では、立方体の内部にある気体分子の運動エネルギーを圧力を使って表現します。

まずは気体分子を単原子分子と仮定して、分子一つについて見てみましょう。

立方体の中では分子は速度を持っており、まずは$x$方向についてのみ考えると、分子は右の壁と左の壁に交互にぶつかっていきます。

t秒で何回右の壁に当たるのか

分子の$x$方向の速度を$v_x$とすると、分子は$t$秒で$v_xt$の距離を進みます。

ここで、$2L$進むごとに右の壁にぶつかることを考慮すると、分子は$t$秒で$\frac{v_xt}{2L}$回右の壁にぶつかることになります。

一回の衝突で壁に与える力積

まずは一回の衝突で分子が壁から受ける力積を考えてみます。

物体が受ける力積は運動量変化と等しいので、分子の運動量変化を考えればいいですね。

分子の質量を$m$とすると、衝突前の$x$方向の運動量は$mv_x$。

衝突後、分子の速度は$-v_x$なのでその時の運動量は$-mv_x$です。

よって、一回の衝突による分子の運動量変化は

$$(-mv_x)-(mv_x)=-2mv_x$$

運動量変化と受けた力積は等しいので、分子が壁から受けた力積も$-2mv_x$です。

逆に、分子が壁に与えた力積は$2mv_x$ですね。

t秒間で分子が壁に与える力積

分子は$t$秒で$\frac{v_xt}{2L}$回右の壁に衝突し、一回の衝突ごとに壁に$2mv_x$の力積を与えるので…

1つの分子が壁に与える力

分子は$t$秒で壁に$\frac{m{v_x}^2t}{L}$の力積を与える。

力が一定と仮定すると、力積は力$f$と時間$t$の積$ft$なので、

$$ft=\frac{m{v_x}^2t}{L}$$

$$f=\frac{m{v_x}^2}{L}$$

これが、「一つの分子が壁に与える力」です。

全ての分子が壁に与える力

立方体の中に分子が$N$個あったとすると、全分子が壁に与える力は

$$F=\frac{m{\bar {v_x}}^2}{L}×N$$

速度$v_x$は全ての分子で共通なわけではなく個体差があるので、平均値$\bar {v_x}$を使います。

ここで、圧力を$P$とすると、

$$P=\frac{F}{L^2}$$

$$=\frac{Nm{\bar {v_x}}^2}{L^3}$$

ここで、$L^3$は立方体の体積なので$V$としておくと、

$$=\frac{Nm{\bar {v_x}}^2}{V}$$

また、次のことに注意します。

よって

$$P=\frac{Nm\bar{v^2}}{3V}$$

これを変形すると、

$$N\frac{1}{2}m\bar{v^2}=\frac{3}{2}PV$$

左辺は全分子の運動エネルギーの総和、つまり内部エネルギーです。以上より、