発散div Vの定義
ベクトル場$V$の発散$\Div V$は次の式で定義されるスカラー量です。
ベクトル場$V=(V_x,V_y,V_z)$がある時、その発散$\Div V$は
$$\Div V=\dd{V_x}{x}+\dd{V_y}{y}+\dd{V_z}{z}$$
また、$\nabla = (\dd{}{x},\dd{}{y},\dd{}{z})$を用いると、$\Div V$は$\nabla$と$V$の内積なので、次のようにも表せます。
発散div Vの意味
証明
点$(x,y,z)$を中心とする$\varDelta x×\varDelta y×\varDelta z$の微小な直方体への流入量と流出量を考える。
簡単のためにまずは$x$方向についてのみ考えると、流入量$V_{in}$は点$(x-\frac{\varDelta x}{2},y,z)$におけるベクトル$V_x$が面積$\varDelta y \varDelta z$分なので、
$$V_{in}=V_x(x-\frac{\varDelta x}{2},y,z)\varDelta y \varDelta z$$
同じく流出量は点$(x+\frac{\varDelta x}{2},y,z)$におけるベクトルが面積$\varDelta y \varDelta z$分なので、
$$V_{out}=V_x(x+\frac{\varDelta x}{2},y,z)\varDelta y \varDelta z$$
よって、正味の流出量(流出量-流入量)は
$$V_x(x+\frac{\varDelta x}{2},y,z)-V_x(x-\frac{\varDelta x}{2},y,z)$$
$$=\left\{V_x(x+\frac{\varDelta x}{2},y,z)-V_x(x-\frac{\varDelta x}{2},y,z)\right\}\varDelta y \varDelta z$$
ここで、テイラー展開を用いて一次近似すると、
$$=\left\{V_x(x,y,z)+\dd{V_x}{x}\frac{\varDelta x}{2}-V_x(x,y,z)+\dd{V_x}{x}\frac{\varDelta x}{2}\right\}\varDelta y \varDelta z$$
$$=\dd{V_x}{x}\varDelta x \varDelta y \varDelta z$$
また、$y$方向・$z$方向についても同様に考えると、合計の正味流出量は
$$\left(dd{V_x}{x}+dd{V_y}{y}+dd{V_z}{z}\right)\varDelta x \varDelta y \varDelta z$$
よって、単位体積あたりの正味流出量は
$$dd{V_x}{x}+dd{V_y}{y}+dd{V_z}{z}=\Div V$$
回転rotVの定義
ベクトル場$V$の回転$\Rot V$は次の式で定義されるベクトル量です。
ベクトル場$V=(V_x,V_y,V_z)$がある時、その回転$\Rot V$は
$$\Rot V=\left(\dd{V_z}{y}-\dd{V_y}{z},\dd{V_x}{z}-\dd{V_z}{x},\dd{V_y}{x}-\dd{V_x}{y}\right)$$
もちろん、このままでは覚えられないので、$\nabla =\left(\dd{}{x},\dd{}{y},\dd{}{z}\right)$を用いると、$\Rot V$は$\nabla$と$V$の外積なので、次のように表せます。
回転rotVの意味
より正確には、$\Rot V$の各成分は「その軸方向に右ねじを進める向きの回転」を表します。
証明
点$(x,y,z)$を中心とする$\varDelta x×\varDelta y×\varDelta z$の微小な直方体を、$z=z$平面で切った断面は次のよう。
この周りのベクトルが長方形を半時計向きに回そうとする力を考える。
例えば、図の右側の青矢印の場合は点$(x+\frac{\varDelta x}{2},y,z)$での$y$方向ベクトルなので、$V_y(x+\frac{\varDelta x}{2},y,z)$と表される。
$V_y(x+\frac{\varDelta x}{2},y,z)$の流れが面積$\varDelta y\varDelta z$(右面の面積)分なので、これは反時計回りに$V_y(x+\frac{\varDelta x}{2},y,z)\varDelta y\varDelta z$の力があることになる。
同様に考えていくと、長方形を半時計周りに回そうとする力の合計は、
$$\left\{V_y(x+\frac{\varDelta x}{2},y,z)-V_y(x-\frac{\varDelta x}{2},y,z)\right\}\varDelta y\varDelta z$$
$$+\left\{V_x(x,y-\frac{\varDelta y}{2},z)-V_x(x,y+\frac{\varDelta y}{2},z)-\right\}\varDelta x\varDelta z$$
ここで、テイラー展開を用いて一次近似すると、
$$\left\{V_y(x,y,z)+\dd{V_y}{x}\frac{\varDelta x}{2}-V_y(x,y,z)+\dd{V_y}{x}\frac{\varDelta x}{2}\right\}\varDelta y\varDelta z$$
$$+\left\{V_x(x,y,z)-\dd{V_x}{y}\frac{\varDelta y}{2}-V_x(x,y,z)-\dd{V_x}{y}\frac{\varDelta y}{2}\right\}\varDelta x\varDelta z$$
$$=\left(\dd{V_y}{x}-\dd{V_x}{y}\right)\varDelta x\varDelta y\varDelta z$$
よって、単位体積あたり、$z$軸方向に右ねじを進める方向の回転は
$$\dd{V_y}{x}-\dd{V_x}{y}$$
これが$\Rot V$の$z$成分となる。
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