平均値の区間推定(分散未知の場合)｜確率統計

分散がわかっている場合の平均値の区間推定(復習)

分散がわかっている場合の平均値の区間推定はこちらの記事で解説しました。

これと同じようなことを分散がわからない状態でやります。

具体的には真の分散の代わりに推定値である不偏分散を使い、推定を行います。

不偏分散についてはこちらの記事をご覧ください。

分散既知の場合では$\bar X$が平均$\mu$・分散$\frac{\sigma ^2}{n}$の正規分布に従うことから、標準化された$\frac{\bar X-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt n}}$は平均0・分散1の標準正規分布に従うことを用いました。

今回は分散$\sigma ^2$の値がわからないので不偏分散$U^2$で代用し、$\frac{\bar X-\mu}{\frac{{\color{red}U}}{\sqrt n}}$を考えます。

ここでUは確率変数だということに注意が必要です。

分散既知の場合は$\mu$や$\sigma$は定数なので、確率変数Xが正規分布に従う時、Xから定数である$\mu$や$\sigma$を引いたりそれで割ったりしたものも正規分布に従います。

しかし今回は確率変数Xを定数ではなく確率変数Uで割るため、正規分布には従わなくなります。

$\frac{\bar X-\mu}{\frac{U}{\sqrt n}}$は「自由度n-1のt分布」に従います。

$\frac{\bar X-\mu}{\frac{U}{\sqrt n}}$は「自由度n-1のt分布」に従う。

ただ、t分布というのは標準正規分布の山を少し潰したような形であり、特に計算としてはやることはほぼ同じです。

標準正規分布では-1.96〜+1.96の間が95%だったのが、自由度n-1のt分布では-3.18〜+3.18の間が95%に変わるだけです。

よって、95%の確率で次の式が成り立ちます。

$$-3.18<\frac{\bar X-\mu}{\frac{U}{\sqrt n}}<3.18$$

これを変形することで、

$$\bar X-3.18\frac{U}{\sqrt n}<\mu<\bar X+3.18\frac{U}{\sqrt n}$$

これで95%の信頼度で平均値$\mu$を区間推定することができます。