勾配ベクトル
勾配ベクトルとは、スカラー場$f$に対して定義されるベクトル場です。
勾配ベクトル
関数$f(x,y)$に対して、勾配ベクトル$\nabla f$は
$$\nabla f=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})$$
関数$f$に対して、それぞれの変数での変微分を成分に持つベクトルを勾配ベクトルと言います。
$\nabla$は「ナブラ」と読み、$(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y})$を表す微分演算子です。
三変数関数の場合は$\nabla f=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})$です。
勾配ベクトルの向きと大きさ
説明
$f(x,y)$から$x$と$y$を少しずつ動かすと、$f(x+\varDelta x,y+\varDelta y)$となるが、この値は二変数関数のテイラー展開を用いて一次近似すると
$$f(x+\varDelta x,y+\varDelta y)=f(x,y)+\frac{\partial f}{\partial x}\varDelta x+\frac{\partial f}{\partial y}\varDelta y$$
よって、$f$の変化量$\varDelta f$は
$$\varDelta f=f(x+\varDelta x,y+\varDelta y)-f(x,y)$$
$$=\frac{\partial f}{\partial x}\varDelta x+\frac{\partial f}{\partial y}\varDelta y$$
$$=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)\cdot \left(\varDelta x,\varDelta y\right)$$
$$=\nabla f \cdot (\varDelta x,\varDelta y)$$
二つのベクトルの内積は向きが等しいときに最大となるので、$(\varDelta x,\varDelta y)$が$\nabla f$と同じ方向を向く時に$\varDelta f$は最大となる。
よって、$\nabla f$の向きは$\varDelta f$の大きさを最大にする向きである。
また、$(\varDelta x,\varDelta y)$と$\nabla f$が同じ向きの時、$f$の変化量は
$$\varDelta f=|\nabla f || (\varDelta x,\varDelta y)|$$
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