ポアソン分布
単位時間内に平均$\lambda$回起こる事象がその単位時間内に起こる回数Xはポアソン分布と呼ばれる離散確率分布に従います。
確率変数Xがポアソン分布に従う時、$X=k$である確率は次の式で表されます。
ポアソン分布
$$P(X=k)=\frac{\lambda ^ke^{-\lambda}}{k!}$$
ポアソン分布の例
ポアソン分布は例えば次のような場面で使割れます。
1時間に平均10回のペースで電話がかかってくるコールセンターがある。このコールセンターに1時間に一回も電話がかかってこない確率を求めよ。
解答
単位時間に平均$\lambda$回起こる事象があるとき、その事象が単位時間内に起こる回数Xはポアソン分布に従い、$X=k$である確率$P(X=k)$は
$$P(X=k)=\frac{\lambda ^ke^{-\lambda}}{k!}$$
平均は$\lambda =10$であり、一時間に0回かかってくる確率$P(X=0)$は
$$P(X=0)=\frac{10^0e^{-10}}{0!}$$
$$=0.0000454$$
よって求める確率は0.00454%。
ポアソン分布の期待値・分散
ポアソン分布の期待は$E(X)=\lambda$、分散も$V(X)=\lambda$になります。
ポアソン分布の期待値の証明
ポアソン分布に従うXの期待値
$$E(X)=\lambda$$
証明
$$E(X)=\sum^\infty_{k=0}kP(X=k)$$
$$=\sum^\infty_{k=1}k\frac{\lambda ^ke^{-\lambda}}{k!}$$
$$=\sum^\infty_{k=1}\frac{\lambda ^ke^{-\lambda}}{(k-1)!}$$
$$=\lambda e^{-\lambda}\sum^\infty_{k=1}\frac{\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}$$
ここで、$e^\lambda$のマクローリン展開より、
$$=\lambda e^{-\lambda}e^\lambda$$
$$=\lambda$$
$e^\lambda$のマクローリン展開
$$e^\lambda=\sum^\infty_{k=1}\frac{\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}$$
ポアソン分布の分散の証明
ポアソン分布に従うXの分散
$$V(X)=\lambda$$
証明
Xがポアソン分布に従う時、二次モーメント$E(X^2)$は
$$E(X)=\sum^\infty_{k=0}k^2P(X=k)$$
$$=\sum^\infty_{k=1}k^2P(X=k)$$
$$=\sum^\infty_{k=1}k^2\frac{\lambda ^ke^{-\lambda}}{k!}$$
$$=\sum^\infty_{k=1}\{k(k-1)+k\}\frac{\lambda ^ke^{-\lambda}}{k!}$$
$$=e^{-\lambda}\left\{\sum^\infty_{k=2}\frac{\lambda ^k}{(k-2)!}+\sum^\infty_{k=1}\frac{\lambda ^k}{(k-1)!}\right\}$$
$$=e^{-\lambda}\left\{\lambda ^2\sum^\infty_{k=2}\frac{\lambda ^{k-2}}{(k-2)!}+\lambda \sum^\infty_{k=1}\frac{\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}\right\}$$
$$=e^{-\lambda}(\lambda ^2e^\lambda +\lambda e^\lambda)$$
$$=\lambda^2 +\lambda$$
よって、
$$V(X)=E(X^2)-E(X)^2$$
$$=(\lambda^2 +\lambda)-\lambda ^2$$
$$=\lambda$$
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