同じものを含む順列の２通りの解法

同じものを含む順列とは

同じものを含む順列とは、次のような問題になります。

普通、順列といえば$A,B,C,D,E$の５個を並べると言ったように、すべて異なったものを並べます。

順列Pの公式【並べ方の数】 | 理系の地下室

目次 nPrとは順列の数並べ方は何通りか計算の仕方例題公式の導出なぜ掛け算なのか？ nPrとは順列の数 並べ方は何通りか （問題を解くときにいちいち「n個の物からr個並べる時の順列の数」と書いていてはめんどくさいので、文

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それに比べて同じものを含む順列では、$A,A,A,B,B$のように同じものを含むものを並べることを考えます。

同じものを含む順列では２通りの解法がありますが、二つ目の「組み合わせを使った解法」をお勧めします。

基本の解法

基本の解法とは、計算したものから余分なものを除く考え方です。

$A,A,A,B,B$を$A_1,A_2,A_3,B_1,B_2$というように区別してみてみると、並べ方は普通の順列になるので${}_5P_5=5!=120通り$です。

しかしこの120通りの中には${\color{red}A_1}B_1B_1{\color{red}A_2}A_3$と${\color{red}A_2}B_1B_1{\color{red}A_1}A_3$が別のものとして数えられているため、「ダブり」が存在します。

$ABBAA$に対して$A_1B_1B_2A_2A_3$や$A_2B_1B_2A_1A_3$など、何回ダブっているのかを考えてみると、$A$の入れ替わり(並び替え)が${}_3P_3=3!=6$通り、$B$の入れ替わり(並び替え)が${}_2P_2=2!=2$通りなので、6×2=12通りの$ABBAA$が存在し、$ABBAA$について12回数えていることになります。

どの並べ方に対しても１つにつき12回数えてしまった結果、120通りという答えだったので、実際の$A,A,A,B,B$の並べ方の総数は120を12で割って10通りと求めることができます。

このように３種類以上ある場合でも同様に考えることができます。

全て区別した場合の並べ方は7!通りで、１つの並べ方に対して3!×2!×2!回数えてしまっているので、実際の並べ方の総数は

$$\frac{7!}{3!×2!×2!}=210通り$$

と求めることができます。

組み合わせを使った解法

一つ目の解法では組み合わせのCを使います。組み合わせについてはこちらをご覧ください。

組み合わせCの公式【選び方の数】 | 理系の地下室

目次 nCrとは組み合わせの数選び方は何通りか計算の仕方例題公式の導出まずは並べ方の数並べると選ぶの違い並べ方からダブりを省くおまけ nCrとは組み合わせの数 選び方は何通りか （問題を解くときにいちいち「n個の物からr

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5個を並べるので下図のように５席用意するわけですが、ここで$A$を入れる席を３つ選んでしまえば並べ方が一つ決まります。

ここで「$A$３個の入れ方」と「$A,A,A,B,B$の並べ方」は１対１の関係なので、「$A$３個の入れ方」と「$A,A,A,B,B$の並べ方」は同じ総数になります。

よって、$A,A,A,B,B$の並べ方の総数を求めるにはA３個の入れ方の総数を求めることになり、5席から$A$を入れる席を3席選べばいいので、

$${}_5C_3=10通り$$

と表すことができます。

このように３種類以上ある場合でも、７席から$A$が入る席を３つ選び、さらに残りの4席から$B$が入る席を２つ選べば並べ方が決定するので、並べ方の総数は

$${}_7C_3 \cdot {}_4C_2=210通り$$

と求めることができます。