点推定｜確率統計

点推定とは？

点推定とは母集団の平均$\mu$や分散$\sigma ^2$などを値で推定することです。

「ズバリ、母集団の平均は56点でしょう！」といった推定になります。

平均値の点推定

母集団から$\{X_1,X_2,X_3,\cdots ,X_n\}$というn個の標本(サンプル)をとってきたとしましょう。

母集団の平均値$\mu$は次の標本平均$\bar X$で推定推定することができます。

$$\bar X = \frac{X_1+X_2+X_3+\cdots +X_n}{n}$$

分散の点推定

少し注意すべきなのは分散の点推定です。

母集団の分散$\sigma ^2$は次の標本分散$S^2$では推定できません。

$$S^2=\frac{(X_1-\bar X)^2+(X_2-\bar X)^2+\cdots (X_n-\bar X)^2}{n}$$

これは母集団の平均値として真の平均$\mu$ではなくあくまで推定量である標本平均$\bar X$を用いているためです。(後述)

不偏分散

母集団の分散$\sigma ^2$の点推定には次のような不偏分散$U^2$を使います。

$$U^2=\frac{(X_1-\bar X)^2+(X_2-\bar X)^2+\cdots (X_n-\bar X)^2}{{\color{red}n-1}}$$

不偏分散では分母をnではなくn-1とします。

これは推定量に不偏性を持たせるためです。

標本分散$S^2$はnを大きくしていけば母集団の分散$\sigma ^2$に近づくため一致性は持っています。

しかし$S^2$の期待値は計算してみると$\sigma ^2-\frac{1}{n}\sigma ^2$というように真の分散よよりも過小評価してしまっています。(実際の計算はこちら。)

イメージとしては標本分散では標本平均との差を考えるため、真の平均との差よりも過小評価してしまいます。(標本たちが自分らで作った平均だから自分らに近いのは当たり前)

これを改善したのが不偏分散になり、不偏分散は一致性も不偏性も持っています。

例題