確率の加法定理・乗法定理とその証明

解答

引いたカードが奇数である事象をA、3以上である確立をBと表すと、

$P(A)=\frac{3}{6}$、$P(B)=\frac{3}{6}$、$P(A\cap B)=\frac{4}{6}$なので、求める確率$P(A\cup B)$は

$$P(A\cup B)=\frac{3}{6}+\frac{3}{6}-\frac{4}{6}$$

$$=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

証明

事象Aの起こる場合の数をn(A)と表すと、

$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$が成り立つ。

この式はベン図を使えば理解すやすく、n(A)+n(B)だけでは真ん中の部分n(A∩B)が二回数えれられた状態なので、n(A)+n(B)からn(A∩B)を一回引いてあげればA∪Bを満遍なく数えることができる。

$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$の両辺を全体の場合の数n(U)で割ると、

$$\frac{n(A\cup B)}{n(U)}=\frac{n(A)}{n(U)}+\frac{n(A)}{n(U)}-\frac{n(A\cap B)}{n(U)}$$

それぞれの項はそれぞれの確立を表すため、

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

解答

1枚目に引いたカードが1である事象をA、２枚目に引いたカードが3である事象をBとすると、

$$P(A)=\frac{1}{6}$$

１枚目で1を引くと残りのカードは2,2,3,3,4の５枚なので、このとき２枚目に3を引く確率$P_A(B)$は

$$P_A(B)=\frac{3}{5}$$

よって、求める確率$P(A\cap B)$は

$$P(A\cap B)=\frac{1}{6}\cdot \frac{3}{5}$$

$$=\frac{1}{10}$$

証明

Aが起こったもとでBが起こる条件付き確率$P_A(B)$は

$$P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$$

この式の両辺にP(A)をかけることによって、

$$P(A\cap B)=P(A)\cdot P_A(B)$$