第一余弦定理とその証明

証明

下図のように補助線を入れることで、

$b=a\cos C+c\cos A$

また、角度Cが鈍角の場合も同様に証明できます。

証明

第二余弦定理を用いると、

$$a\cos C+c\cos A$$

$$=a\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+c\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$

$$=\frac{a^2+b^2-c^2}{2b}+\frac{b^2+c^2-a^2}{2b}$$

$$=\frac{2b^2}{2b}$$

$$=b$$

よって、

$$b=a\cos C+c\cos A$$