正弦定理

導出

三角形ABCの外接円(半径Rとする)について、A’Bが直径となるように円周上に点A’を取ると、

• 弧BCの円周角なので∠BACと∠BA’Cは等しい。
• 半円に対する円周角なので∠A’CB=90°

よって三角形A’BCに注目すると、

$$sin∠BA’C=\frac{a}{2R}$$

$$2R=\frac{a}{sin∠BA’C}=\frac{a}{sinA}$$

bとB、cとCも同様にすると、

$$2R=\frac{b}{sinB}　,　2R=\frac{c}{sinC}$$

以上より

$$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$$

解答

正弦定理より

$$\frac{5}{sin60°}=\frac{b}{sin45°}$$

$$b=\frac{5}{sin60°}sin45°$$

$$=5\cdot\frac{2}{\sqrt3}\cdot\frac{1}{\sqrt2}$$

$$=\frac{10}{\sqrt6}=\frac{5\sqrt6}{3}$$