等加速度直線運動

等加速度直線運動の公式

$$x=\frac{1}{2}a_0t^2+v_0t+x_0$$

$$v=a_0t+v_0$$

$$a=a_0$$

xは位置、vは速度、aは加速度を表します。

公式の導出では積分を使います。積分についてはこちらを御覧ください。

公式の導出ではaをtで積分してvを求め、さらにvをtで積分してxを求めます。

等加速度運動では加速度が一定なので、加速度aは定数になります。

よって等加速度運動の条件式は

$$a=a_0(定数)$$

加速度は$a_0$で一定になります。

$$a=a_0$$

速度と加速度には次の関係があります。

速度vを時間tで微分すれば加速度a

xをtで微分するとaなので、逆にaをtで積分するとvになります。

$a=a_0$の両辺をtで積分すると左辺はvになるので

$$v=a_0t+c(cは積分定数)$$

ここで$t=0$を代入すると$v=c$となるので、$c$は$t=0$のときの$v$、つまり初速度を表すので$c=v_0$と表して置きましょう。

$$v=a_0t+v_0$$

また、$v-v_0$をvの変化量として文字$Δv$とすると次のようにも表せます。

$$Δv=a_0t$$

そのそも加速度とは「1秒あたりの速度の変化量」なのでt秒では$a_0t$の速度変化が生じるのは納得がいく結果だと思います。

先ほどと同様の理由で位置xと速度vにも次のような関係があります。

位置xを時間tで微分すれば速度v

xをtで微分するとvなので、vをtで積分するとxになります。

$v=a_0t+v_0$の両辺をtで積分すると左辺はxになり、

$$x=\frac{1}{2}a_0t^2+v_0t+c(cは積分定数)$$

ここでt=0とすると$x=c$となるので、cはt=0の時のx、つまり初期位置を表すので$x_0$としておきましょう。

$$x=\frac{1}{2}a_0t^2+v_0t+x_0$$

また、$x-x_0=Δx$とすると次のようにも表せます。

$$Δx=\frac{1}{2}a_0t^2+v_0t$$