三角比の定義と使い方

三角比の定義

とある角度$\theta (0°<\theta<90°)$に対して、三角比$sin\theta,cos\theta,tan\theta$は次のように定義されます。

仰角$\theta$を持つ直角三角形を考えた時、

$$sin\theta=\frac{高さ}{斜辺}$$

$$cos\theta=\frac{底辺}{斜辺}$$

$$tan\theta=\frac{高さ}{底辺}$$

次のような図で覚えると覚えやすいです。

矢印の方向に沿って分母→分子と当てはめていきます。

例題

$sin45°,cos45°,tan45°$を求めよ。

解答

45°を仰角に持つ直角三角形(直角二等辺三角形)の底辺と高さは等しいのでどちらも1とすると、三平方の定理を用いて斜辺の長さは$\sqrt2$となる。

この図から、

$$sin\theta=\frac{1}{\sqrt2}$$

$$cos\theta=\frac{1}{\sqrt2}$$

$$tan\theta=1$$

三角比は基本的に測れない長さを測る時に使われます。

測りにくい長さといえば例えばビルの高さなどがあります。

ビルの高さを測る時には次のようにします。

例えばビルから100m離れた位置からビルを見上げた時の角度が50°であれば、次の式が成り立ちます。

$$tan50°=\frac{ビルの高さ}{100}$$

あとは$tan50°$の値をgoogleなどで調べれば、$tan50°=1.19$と出てくるので、

$$\frac{ビルの高さ}{100}=1.19$$

ここからビルの高さは119mであると計算することができます。

三角比の範囲の重要な公式は正弦定理と余弦定理になります。