行列の和
$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}$$
$$=\begin{pmatrix} a+\alpha & b+\beta \\ c+\gamma & d+\delta \end{pmatrix}$$
行列のスカラー倍
$$ k \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$
$$=\begin{pmatrix} ka & kb \\ kc & kd \end{pmatrix}$$
行列の積
$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}$$
$$=\begin{pmatrix} a\alpha+b\gamma & a\beta+b\delta \\ c\alpha+d\gamma & c\beta+d\delta \end{pmatrix}$$
行列の和
$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}$$
$$=\begin{pmatrix} a+\alpha & b+\beta \\ c+\gamma & d+\delta \end{pmatrix}$$
行列の和は簡単で、各成分を足すだけです。
例題
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$$
解答
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$$
$$=\begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix}$$
$$=\begin{pmatrix} 6& 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$$
行列のスカラー倍
$$ k \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$
$$=\begin{pmatrix} ka & kb \\ kc & kd \end{pmatrix}$$
行列のスカラー倍も簡単で、スカラー量であるkを全ての成分にかけるだけです。
行列のスカラー倍で$k=-1$とすれば、行列の和と組み合わせることにより引き算もできますね。
例題
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$$
解答
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$$
$$=\begin{pmatrix} 1-5 & 2-6 \\ 3-7 & 4-8 \end{pmatrix}$$
$$=\begin{pmatrix} -4& -4 \\ -4 & -4 \end{pmatrix}$$
行列の積
$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}$$
$$=\begin{pmatrix} a\alpha+b\gamma & a\beta+b\delta \\ c\alpha+d\gamma & c\beta+d\delta \end{pmatrix}$$
ややこしいのは行列同士の積です。
仕組みを理解するには次のアニメーションを見ていただけると理解しやすいと思います。
例えば左上の(1,1)成分を作りだければ、掛け算の左の行列からは(1,1)成分を含む行ベクトル、右の行列からは(1,1)成分を含む列ベクトルをとり、二つのベクトルで内積をとるようにします。
例題
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$$
解答
$$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$$
$$=\begin{pmatrix} 1\cdot 5+2\cdot 7 & 1\cdot 6+2\cdot 8 \\ 3\cdot 5+4\cdot 7 & 3\cdot 6+4\cdot 8 \end{pmatrix}$$
$$\begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}$$
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