二項定理の公式
二項定理
$$(x+y)^n={}_nC_{\color{red}0}x^{\color{red}0}y^n+{}_nC_{\color{red}1}x^{\color{red}1}y^{n-1}+{}_nC_{\color{red}2}x^{\color{red}2}y^{y-2}+\cdots +{}_nC_{\color{red}n}x^{\color{red}n}y^0$$
$$=\sum_{i=0}^n{}_nC_{\color{red}i}x^{\color{red}i}y^{n-i}$$
式は長くてややこしいですが、次の二点さえ抑えておけば大丈夫です。
Cについてはこちらの記事を御覧ください。
二項定理の証明
展開の仕方
例として$(x+y)^5$の展開を考えてみましょう。
$$(x+y)^5=(x+y)\cdot (x+y)\cdot (x+y)\cdot (x+y)\cdot (x+y)$$
$(x+y)^5$を展開するときは５個の$(x+y)$それぞれについて$x$か$y$か選び、選んだ五個をかけます。
例えば１つ目のかっこから順に$x,x,y,y,y$と選んだ場合は$x^2y^3$が出来上がります。
$$(x+y)^5=({\color{red}x}+y)\cdot ({\color{red}x}+y)\cdot (x+{\color{red}y})\cdot (x+{\color{red}y})\cdot (x+{\color{red}y})$$
しかし次のように$y,y,y,x,x$と選んでも同じ$x^2y^3$が出来上がります。
$$(x+y)^5=(x+{\color{red}y})\cdot (x+{\color{red}y})\cdot (x+{\color{red}y})\cdot ({\color{red}x}+y)\cdot ({\color{red}x}+y)$$
では$x^2y^3$には何通りの作り方が存在するのでしょうか？
何通りの作り方があるか。
これは重複順列の話になります。
$x^2y^3$の作り方の数は『５個のかっこから「$x$を選ぶかっこ」を２つ選ぶときの選び方の数』になるので、${}_5C_2$と表せます。
よって${}_5C_2$個の$x^2y^3$のできることになり、これが$x^2y^3$の係数となります。
例題
$(x+y)^7$を展開したとき、$x^4y^3$の係数を求めよ。
解答
$x^4y^3$を作るには７個の$(x+y)$から４つ「$x$を選ぶかっこ」を選べばよいので、${}_7C_4$通りの作り方がある。
よって係数は${}_7C_4=35$。
コメント