確率のパラドックス（2人の子ども問題）
ある家庭には２人の子どもがいる。
そのうち１人は男子であることが分かっているとき、もう１人も男子である確率は？
これが「２人の子ども問題」と呼ばれる有名な確率のパラドックスです。
この問題、シンプルにもう一人は男か女かの二択なのだから確率は1/2だろうと答えると実は間違いとされてしまいます。
2人の子ども問題の答え
この問題の答えは1/3とされています。理屈は次の通りです。
解答
２人の子どもの組み合わせは、年齢で上の子と下の子に分けると
$$(上の子,下の子)=(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)$$
の４パターンがあり、それぞれの確率は等しく$\frac{1}{4}$。
ここで、１人は男であることがわかっているので、考えられるのは次の３パターン。
$$(上の子,下の子)=(男,男),(男,女),(女,男),\cancel{(女,女)}$$
この中でもう一人も男（２人とも男）であるのは１パターンだけなので答えは$\frac{1}{3}$。
この考え方なら答えはたしかに1/3ですね。
なぜ直感に反するのか
この問題のからくりは問題文にあります。
次の２つの文を見比べてみてください。
ある家庭には⼦どもが２⼈いて、１人は男子であると聞いた。この時、もう１人も男子である確率は？
ある家庭には⼦どもが２⼈いて、１人は男子であるのを見た。この時、もう１人も男子である確率は？
実はこの問題、「聞いた」のか「見た」のかで答えが変わるんです。
今回の記事では問題１として解きました。
しかし普通、２人の子ども問題を見て想像するのは問題２ のシチュエーションです。
ここがこの問題のずるいところですね。笑
問題１の考え方
ある家庭には⼦どもが２⼈いて、１人は男子であると聞いた。この時、もう１人も男子である確率は？
「聞いた」と言うのは「一人は男子であるのを情報として得た」という意味です。
なので先程の解答のように、$(上の子,下の子)=(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)$から$(女,女)$を除外すると、残りの３パターンの中でもう一人も男であるのは１パターンなので1/3となります。
問題２の考え方
ある家庭には⼦どもが２⼈いて、１人は男子であるのを見た。この時、もう１人も男子である確率は？
「見た」となると話は一変します。
男子を見たとき、目撃された男子は次の４パターンが考えられます。（赤文字）
$$(上の子,下の子)=({\color{red}男1},{\color{red}男2}),({\color{red}男3},女),(女,{\color{red}男4}),(女,女)$$
この４パターンのうち、もう⼀⼈も男子であるのは目撃された男⼦が男１または男２の場合なので、答えは1/2という直感に当てはまった結果になります。
直感的に捉える
問題１と問題２の違いがしっくり来ていない場合は次のシチュエーションを考えるとわかりやすいかもしれません。
家１、家２、家３、家４にそれぞれ兄弟、兄妹、姉弟、姉妹が住んでいます。
「少なくとも１人は男子である家」という情報だけでは｛家１、家２、家３｝のどの家のことを⾔っているのか分かりません。
しかし「男子を見た」場合は家１の子である確率が高いです。（男子が２人もいるから）
ここが問題の鍵となりますね。
正直、自分は２人の子ども問題は1/2でも1/3でも正解かと思います。（人によって読み取り方が変わるので。）
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