位置の定義
物体が空間上のどこにあるかを表す物理量を「位置」といい、$x$で表します。
速度の定義
1秒でどれくらい進んだのかという量を「速度」といい、$v$で表します。
正確には「単位時間当たり、どれくらい位置$x$が変化したか」という量です。
仮に10秒で100mを走った場合、1秒当たり10m進んだので速度は10m/s (秒をsで表す)。
しかしこれは10秒間の平均の速度であって、スタートからゴールまでずっとこの速度なわけではありません。
では例えば5秒地点ジャストの速さを求めたければどうすればよいかというと、スタートしてから5秒後とそこから0.1秒後までの短い間でどのくらい進んだのかを考えます。
例えば5秒で40m地点、5.1秒後は40.5mだった場合は0.1秒間で0.5m進んだので1秒で5m、つまり速度は5m/sになります。
よって$⊿t$(秒)で$⊿x$(m)進んだ場合、1秒で$\frac{⊿x}{⊿t}$(m)なので速度は$\frac{⊿x}{⊿t}$になります。
制度を上げたければ⊿tをより短い時間で取れば良く、これは微分の考えになります。
⊿をdに書き換えると
速度$v$の定義
$$v=\frac{dx}{dt}$$
小さい範囲で割り算をする。これが微分ですね。
よって、位置$x$を時間$t$で微分したものが速さ$v$です。
例題
位置$x$が時間$t$の関数として次のように表されている時、速度$v$を時間$t$の関数として求めよ。
$$x=t^2$$
解答
$v$は$x$を$t$で微分したものなので、
$$v=\frac{dx}{dt}=2t$$
加速度の定義
1秒でどれくらい速度が上がったのかという量を「加速度」といい、$a$で表します。
正確には「単位時間当たり、どれくらい速度$v$が変化したか」という量です。
つまり、速度・加速度の関係は位置・速度の関係と同じということですね。
例えば100mを10秒で走り、ゴールの瞬間の速度が9m/sだった場合、10秒で9m/sということは1秒当たり0.9m/s早くなったので加速度は0.9$m/s^2$です。
(加速度の単位は1s当たり何m/s上がったかなのでm/s/s=$m/s^2$です。)
しかしこれも10秒間の平均の加速度であり、瞬間の加速度を求めようとなるとやはり微分を用いることになります。
加速度$a$の定義
$$a=\frac{dv}{dt}$$
速度$v$を時間$t$で微分したものが加速度$a$です。
例題
速度$v$が時間$t$の関数として次のように表されている時、加速度$a$を時間$t$の関数として求めよ。
$$v=2t$$
解答
$a$は$v$を$t$で微分したものなので、
$$a=\frac{dv}{dt}=2$$
位置・速度・加速度の関係
この関係を使うと、等速直線運動や等加速度直線運動が解析できるようになります。
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