微分方程式「同次形」

同次形の微分方程式

$$\frac{dy}{dx}=f\left (\frac{y}{x}\right)$$

この形に変形される微分方程式を「同次形の微分方程式」といいます。

同次形の微分方程式は$\frac{y}{x}=u$と置くことによって、変数分離型に帰着させます。

同次形の微分方程式は$\frac{y}{x}=u$とおいて変数分離型に帰着させる。

$$\frac{dy}{dx}=f\left (\frac{y}{x}\right)$$

同次形の微分方程式は$\frac{y}{x}=u$と置くと、$y=xu$より、積の微分公式を使うと、

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dx}{dx}u+x\frac{du}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$$

よって与式は次のように変形できる

$$u+x\frac{du}{dx}=f(u)$$

この式は次のように変形できるので変数分離型の微分方程式です。

$$x\frac{du}{dx}=f(u)-u$$

$$\frac{1}{f(u)-u}\frac{du}{dx}=x$$

$$\frac{1}{f(u)-u}du=dx$$

後は両辺積分すると、

$$\int \frac{1}{f(u)-u}du=\int dx$$

これでu(x)を求め、$u=\frac{y}{x}$よりyを求めます。

$$y’=\frac{x^2+y^2}{2xy}$$

解答

$$y’=\frac{x^2+y^2}{2xy}=\frac{1+(\frac{y}{x})^2}{2\frac{y}{x}}$$

より、同次型であるので$\frac{y}{x}=u$とおくと、$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$なので

$$u+x\frac{du}{dx}=\frac{1+(u)^2}{2u}$$

整理すると、

$$\frac{2u}{u^2-1}du=-\frac{1}{x}dx$$

両辺積分すると

$$\int \frac{2u}{u^2-1}du=-\int \frac{1}{x}dx$$

$$\log |u^2-1|=-\log |x|+c　(cは積分定数)$$

$$\log |x(u^2-1)|=c$$

$$x(u^2-1)=e^c$$

e^c=Cとおき直すと

$$x(u^2-1)=C$$

$u=\frac{y}{x}$を代入して整理すると

$$y^2=x^2+Cx$$