【数学的に解明】人生で何番目に出会った人と結婚するべきか。【お見合い問題】

証明

人生で出会うn人の中のt人目が「一番いい人」であるとする。

このとき、このt人目と結婚できる確率を考える。

t人目が判断材料の先頭k人に入っていては結婚できないので、tがkより大きいt>kを考えればよい。

t>kのとき、「t人目より前(最初のt-1人)で一番いい人」が先頭k人の中いれば、t人目が「今までで一番いい人」になるので、t人目と結婚できる確率は$\frac{k}{t-1}$

(「最初のt-1人の中で一番いい人」が先頭k人にいなければ、その人と結婚してしまい「一番いい人」にたどり着かない。)

n人の中でt人目が実際に「一番いい人」である確率が$\frac{1}{n}$であることを考慮すると、一番いい人がt人目でかつその人と結婚できる確率は$\frac{1}{n}\frac{k}{t-1}$

t=k+1,k+2,k+3,……,nの場合をすべて考えるとこの戦略で成功する確率は

$$\sum_{t=k+1}^n\frac{1}{n}\frac{k}{t-1}$$

$$=\frac{k}{n}(\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\cdots+\frac{1}{n-1})$$

この確率をできるだけ大きくするようなkを選べば良い。

ここで、nが十分大きいときは

$$\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\cdots+\frac{1}{n-1}=\log \frac{n}{k}$$

なので$\frac{k}{n}\log \frac{n}{k}$の値を最大にするkを求める。

$f(k)=\frac{k}{n}\log \frac{n}{k}$とし、微分すると$f'(k)=\frac{1}{n}\log \frac{n}{k}-\frac{1}{n}$なので、$\frac{n}{k}=e$で最大。

つまりこの戦略では$k=\frac{n}{e}$のとき最も成功確率が高く、その確率は

$$\frac{1}{e}\log e≒0.37$$