よく、パソコンは二進数の世界だとか言われますよね。10101110010100100111110…
確かに聞いたことありますけど、そもそも二進数ってなんですか？
今回はそこのところを解説していきます！
二進数・十進数とは
十進数
我々が普段よく使うのは十進数と言います。十進数では{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}という十種類の文字を使います。
まず一番小さいのが0。その次に1。さらに2,3,4,5,6,7,8,9と来て、文字を全部使ってしまいました。そこで登場するのが十の位です。数字の前にさらに1を付け、10,11,12,13,…..18,19と続いていきます。
その次は十の位を2に変え、20,21,22,23….
さらに90,91,92……….98,99まで来ると、百の位に1を付け足して、100,101…と続いていくことになりますね。
ダイヤル式の鍵を思い浮かべるともっと簡単かもしれません。
まず全てのダイヤルを000に設定して、一番右のダイヤルを0,1,2…7,8,9と回していきます。
一周まわしたら000に戻ってしまうので次は真ん中のダイヤルを1にした状態で一番右のダイヤルを一周回していく。
一周回したら次は真ん中を2にした状態で一番右のダイヤルを一周回していく….こんな具合です。
書き出してみるとこのようになります。
000
001
002
・・・
008
009
010 ←真ん中を1に回す
011
012
・・・
018
019
020 ←真ん中を2に回す
021
・・・
もちろん、099までいったら今度は一番左のダイヤルを1に回して再度同じことを繰り返します。
・・・
098
099
100 ←一番左を1に回す
101
・・・
よって、十進数では一番右(一の位)は毎回、真ん中(十の位)は10回ごと、一番右(百の位)は100回ごとにダイヤルを回すことになります。
(ちなみに10は$10^1$、100は$10^2$です。)
二進数
二進数はこのダイヤルの文字が0と1の二種類しかない状態です。
同じようにまずは000に設定して、一番右のダイヤルを0,1と回していきます。今回はダイヤルの数字が二種類しかありません。
一周まわしたら次はその左のダイヤルを1にした状態で一番右のダイヤルを一周回していきます。
するともう真ん中の数字を使い切ってしまったので一番左の出番です。一番左を1にして同じことを繰り返します。
書き出してみると、
000
001
010 ←真ん中を1に回す
011
100 ←一番左を1に回す
101
110 ←真ん中を1に回す
111
これで終わりです。なんと二進数では三桁あっても8個の状態（数）しか表せません。
二進数では一番左はは毎回、真ん中は2回ごと、一番左は4回ごとにダイヤルを回すことになります。
(ちなみに2は$2^1$、4は$2^2$です。)
無意識に使ってる二進法
飴の謎
二進法、なじみも少ないので難しいと感じる人も多いと思いますが、実は意外と使ってます。次の問題を考えてみてください。ちょっとしたクイズです。
10個の飴があり、そのうち9個は普通の飴(一つ10g)、残りの1つは毒入り(11g)です。
電子ばかりを使って毒の飴を見分ける場合、多くても何回電子ばかりを使用すれば必ず毒入り飴を見分けることができますか。
答えは多くても4回。
まず初めに5個と5個に分け、片方を量ることでどちらに毒入りがあるかわかる。(量ったたものが51gならその中に毒、50gなら量ってない方に毒)
さらに毒入りの5個を2個と3個に分け、片方を量り、どちらに毒があるのか見分ける。
3個の方が毒入りの場合2個と1個に分け、どちらかを量る。
さらに2個の方が毒入りの場合、最後にそのうちの1つを量る。
これで多くても4回のうちに毒入りの飴を見つけることができます。しかし残念、不正解です。
二進数の考え方
4回と答えたあなたは二進数の考えを使っています。どういうことか説明しましょう。
まず10個の飴に0番から9番までの番号を書きます。そしてそれらを二進数で表すと
⓪ 0000
① 0001
② 0010
③ 0011
④ 0100
⑤ 0101
⑥ 0110
⑦ 0111
⑧ 1000
⑨ 1001
ここで答えの4回というのは桁数に当たります。
まず一回目のはかりの使用では、一番左の数が1である飴を乗せます。(今回だと⑧⑨だけですね)
二回目では左から二番目の数が1の飴。(④⑤⑥⑦)
三回目では左から三番目の数が1の飴。(②③⑥⑦)
四回目では左から四番目の数が1の飴。(①③⑤⑦⑨)
これで例えば結果として二回目と三回目に毒が乗っていた(量った結果1gの端数があった)とすると、「二回目と三回目は乗せて(左から二番目と三番目の数字が1)、一回目と四回目は乗せてない(左から一番目と四番目の数字が0)」
なので0110となり、⑥が毒の飴とわかります。
ここでは「乗せるor乗せない」の二つの選択肢なので二進数の考え方になります。
十進法の考え方
答えは1回で十分です。今回は十進法の考え方をします。
つまり、「乗せるor乗せない」の二択ではなく、十択の選択肢を作ります。
全ての飴を10等分に割ります。これで「カケラを1個乗せる、２個乗せる、・・・10個乗せる」という10通りの選択肢ができました。
同じく飴に0から9の番号を振り、それぞれその番号の数だけカケラを乗せます。
①の飴はカケラ1個、②の飴はカケラ2個、・・・⑨の飴はカケラ9個です。つまり合計45個のカケラを乗せることになります。
カケラ一つは普通1g、毒入りは1.1gなのでもし量った結果、端数が0.5なら1.1gのカケラが5個乗っている、つまり⑤が毒入りとわかります。
まとめ
このように、私たちは普段何気なく二進数を使ったりしています。こういうことを改めて学ぶことで普段の生活も見方が変わるかもしれませんね。
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