素数は無限個存在することの証明

素数とは？

素数とは、１と自分の数字でしか割り切れない自然数のことです。

２や３は1でしか割れないですが、４は２で割れます。

素数を無限に存在しないと仮定します。

ということは、最大の素数が存在するということです。

そこで最大の素数をPとします。

ここで、全ての素数の席を考えてみます。つまり、

$$2\cdot 3\cdot 5\cdots P$$

この数はもちろん、全ての素数の倍数です。

さらにこの数に1を足すと、

$$2\cdot 3\cdot 5\cdots P+1$$

2で割っても1余り、3で割っても1あまり、5で割って1余り…

全ての素数で割っても1余る、つまり全ての素数で割り切れない数ができました。

これは、最大の素数と仮定したＰよりも大きい素数が誕生したので仮定に矛盾します。

できるだけ簡単に素数が無限に存在しないことを証明しました。

ちなみにこのように「何かを仮定し、その仮定の上で矛盾を起こすことによって仮定を否定する証明方法」を背理法と言います。