- ちんぽ揃えゲームって知ってるかな？
- 何てこというんですか（汗）
- twitterで配信されているゲームなんだけど
- ・・・(￣(工)￣)
ちんぽ揃えゲームとは
ちんぽ揃えゲームとは、twitterで一時期流行ったゲームで、「ち・ん・ぽ」の三文字がランダムで配置されていき、何文字目でちんぽという並びを出すことができるかという趣旨の物です。
ちなみに僕は21文字でした
確率を求めてみる
$P_3$~$P_5$を求める
n文字目でちんぽが完成する確率をとりあえず$P_n$としてこれを漸化式を使って求めていきましょう。
まず、最小の文字数でちんぽを揃えることができるのはもちろん3文字です。
$$P_3=\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{3^3} $$
これは簡単に求めることができますね。
4文字目で揃えるには1文字目は何でも良くて、2,3,4文字目が「ちんぽ」であればokですね。
$$P_4=1\cdot\frac{1}{3^3}=\frac{1}{3^3}$$
同じく$P_5$も求めることができますね。
$$P_5=1\cdot1\cdot\frac{1}{3^3}=\frac{1}{3^3}$$
$P_6,P_7$を求めてみる
いきなりですが$P_6$を考えてみましょう。
6文字目でちんぽを揃えるには3文字目でちんぽが完成しておらずかつ4,5,6文字目がそれぞれ「ち・ん・ぽ」であればいいわけです。
3文字目でちんぽが完成していない確率は$1-P_3$なので6番目でちんぽを揃う確率は
$$P_6=(1-P_3)\cdot\frac{1}{3^3}=\frac{26}{3^6}$$
同じく$P_7$も求めてみます。
7番目でちんぽを揃えるには4文字目まででちんぽが完成しておらずかつ5,6,7文字目がそれぞれ「ち・ん・ぽ」であればいいわけです。
ここで注意すべきなのが、「4文字目まででちんぽが完成」には「3文字で完成」と「4文字で完成」があるということですね。
これを考慮すると
$$P_7=(1-P_3-P_4)\cdot\frac{1}{3^3}=\frac{25}{3^6}$$
漸化式を作ってみる
上記のことから次の漸化式が成り立ちます。
$$P_{n+3}=\frac{1}{3^3}(1-\sum_{k=3}^{n}P_k)$$
少し工夫をしてみます
$$P_{n+3}=\frac{1}{3^3}(1-\sum_{k=3}^{n}P_k)$$
$$=\frac{1}{3^3}(1-\sum_{k=3}^{n-1}P_k-P_n)$$
$$=\frac{1}{3^3}(1-\sum_{k=3}^{n-1}P_k)-\frac{1}{3^3}P_n$$
$$=P_{n+2}-\frac{1}{3^3}P_n$$
よって次の漸化式が得られます。
$$P_{n+3}=P_{n+2}-\frac{1}{3^3}P_n$$
